前のページ 1/2 次のページ

正多面体 (regular polyhedron)、またはプラトンの立体 (Platonic solid) とは、すべての面が同一の正多角形で構成されてあり、かつすべての頂点において接する面の数が等しい凸多面体のこと。正多面体には正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の五種類がある。三次元空間の中に一つの頂点を取り、その周りに取ることが可能な正多角形に関する制限から、正多面体が先に示したより五種類のみであることが証明できる。このことは、オイラーの多面体公式からも証明できる。しかし、条件を緩めることによって、正多面体の拡張を考えることができる(参照:星型正多面体、ねじれ正多面体、正平面充填形)。正多面体の構成面を正 p 角形、頂点に集まる面の数を q として のように表すことができる。これをシュレーフリの記号という。シュレーフリの記号は半正多面体にも拡張することができる。

◆一覧

正多面体の表面積、体積は一辺を a とすれば、概略下記となる。

|$\backslash sqrta^2$

|$1.732a^2$

|

|$0.118a^3$

|

|-

|正六面体

| 正方形

| 12

| 8

|

|$6a^2\backslash ,$

|$6a^2$

|$a^3\backslash ,$

|$a^3$

|

|-

|正八面体

| 正三角形

| 12

| 6

|

|$2\backslash sqrta^2$

|$3.464a^2$

|

|$0.471a^3$

|

|-

|正十二面体

| 正五角形

| 30

| 20

|

|$3\backslash sqrta^2$

|$20.65a^2$

|$a^3$

|$7.663a^3$

|

|-

|正二十面体

| 正三角形

| 30

| 12

|

|$5\backslash sqrt3a^2$

|$8.660a^2$

|$(3+\backslash sqrt5)a^3$

|$2.182a^3$

|

| -->

◆双対

正多面体は、適切に頂点を選ぶことで別の正多面体を作ることができる。

代表的なものは各面の中心を結ぶという操作で、

・正二十面体 ↔ 正十二面体

・正六面体 ↔ 正八面体

・正四面体 ↔ 正四面体

の様に作ることが出来る。これらの関係を双対という。このうち正四面体は正四面体自身になる(自己双対)。

ほかには、

・正六面体の1つおきの頂点 → 正四面体

前のページ 1/2 次のページ

・正多面体 page1

・正多面体 page2