この関係は三角不等式として一般化される。

逆に、この不等式が三つとも成り立てば、a,b,cを3辺の長さとして三角形が作れることが知られている。

◆ 三角形の種類

三角形はその辺や角によって、いくつかの種類に分けられる。

角の大きさが 0 度より大きく 90 度より小さい場合、その角を鋭角という。角の大きさが90 度の場合、その角を直角という。角の大きさが 90 度より大きく 180 度より小さい場合、その角を鈍角という。三角形の内角の和は 180 度なので、三角形は 90 度以上の大きさの角を 2 つ以上は持てない。すなわち、三角形の内角はすべて鋭角か、一つの直角または、鈍角をもつかのいずれかである。

ここで、すべての角が鋭角である三角形を鋭角三角形(図 2)、1 つの角が直角である三角形を直角三角形(図 4)、1 つの角が鈍角である三角形を鈍角三角形(図 3)という。

また、辺の長さが全部異なる三角形を不等辺三角形(図 2)という。2 つの辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形(図 5)という。また、2 つの辺が等しい直角三角形を直角二等辺三角形(図 6)という。3 つの辺の長さがすべて等しい三角形を正三角形(図 7)という。

◇ 直角三角形

直角三角形の直角の対辺を斜辺という(図 4)。直角三角形では、斜辺がほかの 2 つの辺よりも必ず長い。最大辺が c の △ABC が直角三角形であることは、次の公式

: a² + b² = c²

が成り立つことと同値である(ピタゴラスの定理)。

◇ 二等辺三角形

二等辺三角形の等しい 2 つの辺が作る内角を頂角といい、残りの 2 つの内角を底角という。また、頂角の対辺を底辺という。△ABC が b = c の二等辺三角形であることは、∠B = ∠C であること、また ∠A の二等分線が辺 BC を垂直に二等分することとそれぞれ同値である。

直角二等辺三角形の頂角の大きさは 90 度であり、底角の大きさはそれぞれ 45 度となる(図 6)。

◇ 正三角形

正三角形の内角はすべて等しく 60 度となり、三辺の長さも等しい。また任意の 1 角が 60 度である二等辺三角形は正三角形である。(図 7)。

◆ 面積

三角形は基本的な平面図形であり、面積の求め方も、基本的なものだけでも幾通りかが知られている。いずれの式を用いても同じ値が得られるので、その時点で明らかになっている辺の長さや頂点の角度といった要素に応じて使い分ければよい。

◇ 底辺・高さによる式

1つの辺、またはその延長線と直角に交わる直線をその辺にたてた垂線といい、垂線とその辺との交点を垂線の足または垂足という。ある辺にたてた垂線が、それに対する頂点を通るとき、垂線の足とその頂点との距離をその三角形の高さという。高さは 3 つの辺それぞれに対して定義できる。ある頂点 A の対辺 a に対する高さを h_a とするとき、面積 S は

: $S\; =\; \backslash frac$

で表される。

◇ 3辺による式

3辺の長さを a, b, c とし、

: $s\; =\; \backslash frac$

とするとき、面積 S は

: $S\; =\; \backslash sqrt$

で求められる。これをヘロンの公式と呼ぶ。

◇ 2辺夾角による式

2辺の長さを a, b 、その夾角の角度を C とするとき、面積 S は

: $S\; =\; \backslash frac$

で求められる。

◇ 1辺両端角(2角夾辺)による式

1辺の長さを a 、その両端角の角度を B, C とするとき、面積 S は

: $S\; =\; \backslash frac$

で求められる。

◇ 直交座標による式

2次元直交座標系(直交座標平面)で、座標 (0, 0), (x₁, y₁),(x₂, y₂) を頂点とする三角形の場合、面積 S は

: $S\; =\; \backslash frac$

で表せる。

◇ 極座標による式

2次元極座標系(極座標平面、円座標)で、座標 (0, 0), (r₁, θ₁), (r₂, θ₂) を頂点とする三角形の場合、面積 S は

: $S\; =\; \backslash frac$

または

: $S\; =\; \backslash frac$

で表せる。

◆ 五心

三角形は内心、外心、垂心、重心、傍心をもつ。これらをあわせて五心という。

外心を O、重心を G、垂心を H とおくと、3 点 O, G, H は一直線上にあり(この直線をオイラー線と呼ぶ)、また OG : GH = 1 : 2 である。

◇ 内心

三角形の 3 つの内角の二等分線は 1 点で交わる。この点のことを内心という。内心は 3 つの辺から等距離であり、内心を中心として半径がその距離である円は 3 つの辺に接する。この円のことを内接円という。

◇ 外心

三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わる。この点のことを外心という。外心は3つの頂点から等距離であり、外心を中心として半径がその距離である円は3つの頂点を通る。この円のことを外接円という。

外心は三角形の内部にあるとは限らない。鈍角三角形の場合は外側にあり、直角三角形の場合は斜辺の中点上にある。

◇ 垂心

三角形の 3 つの頂点からそれぞれの対辺に引いた垂線は 1 点で交わる。この点のことを垂心という。

◇ 重心

三角形の頂点とその対辺の中点を結ぶ 3 つの線分は 1 点で交わる。この点のことを重心という。また、それぞれの線分を中線といい、重心は中線を 1 : 2 の比で分割する。

◇ 傍心

三角形の 1 つの内角と他の 2 つの外角の二等分線は 1 点で交わる。この点のことを傍心(ぼう

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